Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

Вопросы теории.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

Устные упражнения.

1) Доказать следующие соотношения

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}

Положим x=-0,25 получим

{T}=0 <=> T=n, n € Z

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .

f(x+1) =3{x+1+0,25}+1

Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Если х=0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Если х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Сложив, получим:

10cos(0,75Т)=10

2π n, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

sin|x+Т|=sin|x|

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т=π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
2. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.

Основные понятия

Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.

Определение 2

Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:

Определение 3

Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:

T -- период функции.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):

Рисунок 1.

Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ -- симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.

Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:

Периодичность тригонометрических функций

Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).

Рисунок 2.

Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ -- вектор единичной длины.

Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.

Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что

То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.

Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то

Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то

Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций

Пример 1

Доказать следующие утверждения:

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

а) $tg{385}^0=tg{25}^0$

Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$

Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим

\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]

в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$

Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим

удовлетворяющих системе неравенств:

б) Рассмотрим множество чисел на числовой оси, удовлетворяющих системе неравенств:

Найдите сумму длин отрезков, из которых состоит это множество.

§ 7. Простейшие формулы

В § 3 мы установили для острых углов α такую формулу:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Эта же формула			в случае,
				когда α - любое			самом де-
				ле, пусть M - точка на тригонометри-
				ческой окружности, соответствующая
				числу α (рис. 7.1 ). Тогда		M имеет ко-
				ординаты x = cos α, y
				нако всякая точка (x; y), лежащая на
				окружности единичного радиуса с цен-
				тром в начале координат, удовлетво-
				ряет уравнению x2 + y2		1, откуда
				cos2 α + sin2 α = 1, что и требовалось.

Итак, формула cos2 α + sin2 α = 1 вытекает из уравнения окружности. Может показаться, что тем самым для острых углов мы дали новое доказательство этой формулы (по сравнению с указанным в § 3, где мы пользовались теоремой Пифагора). Отличие, однако, чисто внешнее: при выводе уравнения окружности x2 + y2 = 1 используется та же теорема Пифагора.

Для острых углов м ы получали и другие формулы, напри-

ниманию символа, правая часть всегда неотрицательна, в то время как левая часть вполне может быть и отрицательной. Чтобы формула была верна при всех α, надо ее возвести в квадрат. Получится равенство: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Докажем, что эта формула верна при всех α:1

1/(1 + tg2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Задача 7.1. Выведите все формулы, приведенные ниже, из определений и формулы sin2 α + cos2 α = 1 (некоторые из них мы уже доказали):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tg2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + ctg2 α

sin2

Эти формулы позволяют, зная значение одной из тригонометрических функций данного числа, почти найти все осталь-

ные. Пусть, например, мы знаем, что sin x = 1/2. Тогда cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, так что cos x равен или 3/2, или − 3/2. Чтобы узнать, какому именно из этих двух чисел равен cos x, нужна дополнительная информация.

Задача 7.2. Покажите на примерах, что оба вышеуказанных случая возможны.

Задача 7.3. а) Пусть tg x = −1. Найдите sin x. Сколько ответов у этой задачи?

б) Пусть в дополнение к условиям пункта а) нам известно, что sin x < 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Для которых tg α определен, т. е. cos α 6= 0.

Задача 7.4. Пусть sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Найдите tg x.

Задача 7.5. Пусть tg x = 3, cos x > sin x. Найдите cos x, sin x.

Задача 7.6. Пусть tg x = 3/5. Найдите sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x

Задача 7.7. Докажите тождества:

tg α − sin α

в) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Задача 7.8. Упростите выражения:

а) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; б) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

в) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Периоды тригонометрических функций

Числам x, x+2π, x−2π соответствует одна и та же точка на тригонометрической окружности (если пройти по тригонометрической окружности лишний круг, то придешь туда, где был). Отсюда вытекают такие тождества, о которых уже шла речь в § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

В связи с этими тождествами мы уже употребляли термин «период». Дадим теперь точные определения.

Определение. Число T 6= 0 называют периодом функции f, если для всех x верны равенства f(x − T) = f(x + T) = f(x) (подразумевается, что x + T и x − T входят в область определения функции, если в нее входит x). Функцию называют периодической, если она имеет период (хотя бы один).

Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Об одном из таких процессов речь уже шла в § 5. Вот еще примеры:

1) Пусть ϕ = ϕ(t) - угол отклонения качающегося маятника часов от вертикали в момент t. Тогда ϕ - периодическая функция от t.

2) Напряжение («разность потенциалов», как сказал бы физик) между двумя гнездами розетки в сети переменного тока, ес-

ли его рассматривать как функцию от времени, является периодической функцией1 .

3) Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воздуха в данной точке - периодическая функция от времени.

Если функция имеет период T , то периодами этой функции будут и числа −T , 2T , −2T . . . - одним словом, все числа nT , где n - целое число, не равное нулю. В самом деле, проверим, например, что f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Определение. Наименьшим положительным периодом функции f называется - в соответствии с буквальным смыслом слов - такое положительное число T , что T - период f и ни одно положительное число, меньшее T , периодом f уже не является.

Периодическая функция не обязана иметь наименьший положительный период (например, функция, являющаяся постоянной, имеет периодом вообще любое число и, стало быть, наименьшего положительного периода у нее нет). Можно привести примеры и непостоянных периодических функций, не имеющих наименьшего положительного периода. Тем не менее в большинстве интересных случаев наименьший положительный период у периодических функций существует.

1 Когда говорят «напряжение в сети 220 вольт», имеют в виду его «среднеквадратичное значение», о котором мы будем говорить в § 21. Само же напряжение все время меняется.

Рис. 8.1. Период тангенса и котангенса.

В частности, наименьший положительный период как синуса, так и косинуса равен 2π. Докажем это, например, для функции y = sin x. Пусть вопреки тому, что мы утверждаем, у синуса есть такой период T , что 0 < T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1–3), называется просто периодом этих колебаний.

Поскольку число 2π является периодом синуса и косинуса, оно будет также периодом тангенса и котангенса. Однако для этих функций 2π - не наименьший период: наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса будет π. В самом деле, точки, соответствующие числам x и x + π на тригонометрической окружности, диаметрально противоположны: от точки x до точки x + 2π надо пройти расстояние π, в точности равное половине окружности. Теперь, если воспользоваться определением тангенса и котангенса с помощью осей тангенсов и котангенсов, равенства tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x станут очевидными (рис. 8.1 ). Легко проверить (мы предложим это сделать в задачах), что π - действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса.

Одно замечание по поводу терминологии. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Так что если на экзамене у вас спросят: «Является ли 100π периодом функции синус?», не торопитесь с ответом, а уточните, имеется в виду наименьший положительный период или просто один из периодов.

Тригонометрические функции - типичный пример периодических функций: любую «не очень плохую» периодическую функцию можно в некотором смысле выразить через тригонометрические.

Задача 8.1. Найдите наименьшие положительные периоды функций:

				в) y = cos πx;

г) y = cos x + cos(1,01x).

Задача 8.2. Зависимость напряжения в сети переменного тока от времени задается формулой U = U0 sin ωt (здесь t - время, U - напряжение, U0 и ω - постоянные величины). Частота переменного тока - 50 Герц (это означает, что напряжение совершает 50 колебаний в секунду).

а) Найдите ω, считая, что t измеряется в секундах;

б) Найдите (наименьший положительный) период U как функции от t.

Задача 8.3. а) Докажите, что наименьший положительный период косинуса равен 2π;

б) Докажите, что наименьший положительный период тангенса равен π.

Задача 8.4. Пусть наименьший положительный период функции f равен T . Докажите, что все остальные ее периоды имеют вид nT для некоторых целых чисел n.

Задача 8.5. Докажите, что следующие функции не являются периодическими.

С центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

	y = sin x	y = cos x
Область определения и непрерывность	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Тригонометрические функции периодичны , то есть повторяются через определенный период. Вследствие этому довольно изучать функцию на этом интервале и распространить обнаруженные свойства на все остальные периоды.

Инструкция

1. Если вам дано примитивное выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-нибудь число, а она сама не возведена в какую-нибудь степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec отважно ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Скажем, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.

2. Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-нибудь число, то, дабы обнаружить период данной функции, поделите типовой период на это число. Скажем, вам дана функция у= sin 5х. Типовой период для синуса – 2П, поделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть желанный период данного выражения.

3. Дабы обнаружить период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите типовой период в два раза. Скажем, если вам дана функция у=3 cos^2х, то типовой период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в всякий степени периодичны П.

4. Если вам дано уравнение, содержащее произведение либо частное 2-х тригонометрических функций, вначале обнаружьте период для всей из них отдельно. После этого обнаружьте минимальное число, которое умещало бы в себе целое число обоих периодов. Скажем, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое дозволено уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, желанный период – 2П.

5. Если вы затрудняетесь делать предложенным образом либо сомневаетесь в результате, попытайтесь делать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он огромнее нуля. Подставьте в уравнение взамен х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром либо числом. В итоге вы обнаружите значение тригонометрической функции и сумеете подобрать наименьший период. Скажем, в итоге облегчения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет результат задачи.

Периодической функцией именуется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции именуется число, при добавление которого к доводу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам обзора.

Инструкция

1. Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача обнаружить это значение К. Для этого представим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).

2. Решаем полученное уравнение касательно неведомой K, так, как словно x – константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.

3. Если K>0 – то это и есть период вашей функции.Если K=0 – то функция f(x) не является периодической.Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция именуется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание!
Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью огромнее 2 – апериодическими.

Полезный совет
Периодом функции, состоящей из 2-х периодический функций, является Наименьшее всеобщее кратное периодов этих функций.

Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неведомого довода (для примера: 5sinx-3cosx =7). Дабы обучиться решать их – необходимо знать некоторые для этого способы.

Инструкция

1. Решение таких уравнения состоит из 2-х этапов.Первое – реформирование уравнения для приобретения его простейшего вида. Простейшими тригонометрическими уравнениями именуются такие: Sinx=a; Cosx=a и т.д.

2. Второе – это решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует основные способы решения уравнений такого вида:Решение алгебраическим способом. Данный способ классно знаменит из школы, с курса алгебры. По иному называют способом замены переменной и подстановки. Применяя формулы приведения, преобразуем, делаем замену, позже чего находим корни.

3. Разложение уравнения на множители. Вначале переносим все члены налево и раскладываем на множители.

4. Приведение уравнение к однородному. Однородными уравнениями называют уравнения, если все члены одной и той же степени и синус, косинус одного и того же угла.Дабы его решить, следует: вначале перенести все его члены из правой части в левую часть; перенести все всеобщие множители за скобки; приравнять множители и скобки нулю; приравненные скобки дают однородное уравнение меньшей степени, что следует поделить на cos (либо sin) в старшей степени; решить полученное алгебраическое уравнение касательно tan.

5. Дальнейший способ – переход к половинному углу. Скажем, решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.Переходим к половинному углу: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , позже чего все члены сводим в одну часть (отличнее в правую) и решаем уравнение.

6. Вступление вспомогательного угла. Когда мы заменяем целое значение cos(а) либо sin(а). Знак «а» – вспомогательный угол.

7. Способ реформирования произведения в сумму. Здесь нужно применять соответствующие формулы. Скажем дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.Решим ее, преобразовав левую часть в сумму, то есть:cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk ,x = p / 16 + pk / 8.

8. Конечный способ, называемый многофункциональной подстановкой. Мы преобразовываем выражение и делаем замену, скажем Cos(x/2)=u, позже чего решаем уравнение с параметром u. При приобретении итога переводим значение в обратное.

Видео по теме

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с ином. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если знаменит период функции , дозволено возвести функцию на этом периоде и повторить ее на других.

Инструкция

1. Период – это число T, такое что f(x) = f(x+T). Дабы обнаружить период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве довода x и x+T. При этом пользуются теснее знаменитыми периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса – π.

2. Пускай дана функция f(x) = sin^2(10x). Разглядите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Тогда получите 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) либо cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2π. Значит, T = π/10. Т – минимальный правильный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в иную сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет
Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам теснее знамениты периоды каких-нибудь функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к вестимым.

Изыскание функции на четность и нечетность помогает строить график функции и постигать нрав ее поведения. Для этого изыскания нужно сравнить данную функцию, записанную для довода “х” и для довода “-х”.

Инструкция

1. Запишите функцию, изыскание над которой нужно провести, в виде y=y(x).

2. Замените довод функции на “-х”. Подставьте данный довод в функциональное выражение.

3. Упростите выражение.

4. Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для доводов “х” и “-х”. Посмотрите на две эти записи.Если y(-x)=y(x), то это четная функция.Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.Если же про функцию невозможно сказать, что y(-x)=y(x) либо y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция всеобщего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.

5. Запишите сделанные вами итоги. Сейчас вы можете их применять в построении графика функции либо же в будущем аналитическом изыскании свойств функции.

6. Говорить о четности и нечетности функции дозволено также и в том случае, когда теснее задан график функции. Скажем, график послужил итогом физического эксперимента.Если график функции симметричен касательно оси ординат, то y(x) – четная функция.Если график функции симметричен касательно оси абсцисс, то x(y) – четная функция. x(y) – функция, обратная функции y(x).Если график функции симметричен касательно начала координат (0,0), то y(x) – нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).

7. Значимо помнить, что представление о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, скажем, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего невозможно сказать про функцию всеобщего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.

8. Изыскание функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции довольно разглядеть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Тригонометрическими» когда-то стали называть функции, которые определяются зависимостью острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. К таким функциям относят в первую очередь синус и косинус, во вторую – обратные этим функциям секанс и косеканс, производные от них тангенс и котангенс, а также обратные функции арксинус, арккосинус и др. Положительнее говорить не о «решении» таких функций, а об их «вычислении», то есть о нахождении численного значения.

Инструкция

1. Если довод тригонометрической функции неведом, то вычислить ее значение дозволено косвенным методом исходя из определений этих функций. Для этого требуется знать длины сторон треугольника, тригонометрическую функцию для одного из углов которого требуется вычислить. Скажем, по определению синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы. Из этого вытекает, что для нахождения синуса угла довольно знать длины этих 2-х сторон. Схожее определение гласит, что синусом острого угла является отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы. Тангенс острого угла дозволено вычислить, поделив длину противолежащего ему катета на длину прилежащего, а котангенс требует деления длины прилежащего катета к длине противолежащего. Для вычисления секанса острого угла нужно обнаружить отношение длины гипотенузы к длине прилежащего к необходимому углу катета, а косеканс определяется отношением длины гипотенузы к длине противолежащего катета.

2. Если же довод тригонометрической функции вестим, то знать длины сторон треугольника не требуется – дозволено воспользоваться таблицами значений либо калькуляторами тригонометрических функций. Такой калькулятор есть среди стандартных программ операционной системы Windows. Для его запуска дозволено нажать сочетание клавиш Win + R, ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK». В интерфейсе программы следует раскрыть раздел «Вид» и предпочесть пункт «Инженерный» либо «Ученый». Позже этого дозволено вводить довод тригонометрической функции. Для вычисления функций синус, косинус и тангенс довольно позже ввода значения щелкнуть по соответствующей кнопке интерфейса (sin, cos, tg), а для нахождения обратных им арксинуса, арккосинуса и арктангенса следует заблаговременно поставить отметку в чекбоксе Inv.

3. Есть и альтернативные методы. Один из них – перейти на сайт поисковой системы Nigma либо Google и ввести в качестве поискового запроса надобную функцию и ее довод (скажем, sin 0.47). Эти поисковики имеют встроенные калькуляторы, следственно позже отправки такого запроса вы получите значение введенной вами тригонометрической функции.

Видео по теме

Совет 7: Как обнаружить значение тригонометрических функции

Тригонометрические функции сначала появились как инструменты абстрактных математических вычислений зависимостей величин острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. Теперь они дюже обширно используются как в научных, так и в технических областях человеческой деятельности. Для утилитарных вычислений тригонометрических функций от заданных доводов дозволено применять различные инструменты – ниже описано несколько особенно доступных из них.

Инструкция

1. Воспользуйтесь, скажем, устанавливаемой по умолчанию совместно с операционной системой программой-калькулятором. Она открывается выбором пункта «Калькулятор» в папке «Служебные» из подраздела «Типовые», размещенного в раздел «Все программы». Данный раздел дозволено обнаружить, открыв щелчком по кнопке «Пуск» основное меню операционной системы. Если вы используете версию Windows 7, то имеете вероятность примитивно ввести слово «Калькулятор» в поле «Обнаружить программы и файлы» основного меню, а после этого щелкнуть по соответствующей ссылке в итогах поиска.

2. Введите значение угла, для которого нужно рассчитать тригонометрическую функцию, а потом кликните по соответствующей этой функции кнопке – sin, cos либо tan. Если вас волнуют обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус либо арктангенс), то вначале кликните кнопку с надписью Inv – она меняет присвоенные руководящим кнопкам калькулятора функции на противоположные.

3. В больше ранних версиях ОС (скажем, Windows XP) для доступа к тригонометрическим функциям нужно раскрыть в меню калькулятора раздел «Вид» и предпочесть строку «Инженерный». Помимо того, взамен кнопки Inv в интерфейсе ветхих версий программы присутствует чекбокс с такой же надписью.

4. Дозволено обойтись и без калькулятора, если у вас есть доступ в интернет. В сети много сервисов, которые предлагают по-различному организованные вычислители тригонометрических функций. Один их особенно комфортных вариантов встроен в поисковую систему Nigma. Перейдя на ее основную страницу, примитивно введите в поле поискового запроса волнующее вас значение – скажем, «арктангенс 30 градусов». Позже нажатия кнопки «Обнаружить!» поисковик рассчитает и покажет итог вычисления – 0,482347907101025.

Видео по теме

Тригонометрия – раздел математики для постижения функций, выражающих разные зависимости сторон прямоугольного треугольника от величин острых углов при гипотенузе. Такие функции получили называние тригонометрических, а для облегчения работы с ними были выведены тригонометрические тождества .

Представление тождества в математике обозначает равенство, которое выполняется при всяких значениях доводов входящих в него функций. Тригонометрические тождества – это равенства тригонометрических функций, подтвержденные и принятые для упрощения работы с тригонометрическими формулами.Тригонометрическая функция – это элементарная функция зависимости одного из катетов прямоугольного треугольника от величины острого угла при гипотенузе. Почаще каждого применяются шесть основных тригонометрических функций: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) и cosec (косеканс). Эти функции именуются прямыми, существуют также обратные функции, скажем, синус – арксинус, косинус – арккосинус и т.д.Первоначально тригонометрические функции обнаружили отражение в геометрии, после этого распространились в другие области науки: физику, химию, географию, оптику, теорию вероятностей, а также акустику, теорию музыки, фонетику, компьютерную графику и многие другие. Сейчас теснее сложно представить себе математические расчеты без этих функций, правда в дальнем прошлом они использовались только в астрономии и архитектуре.Тригонометрические тождества используются для упрощения работы с длинными тригонометрическими формулами и приведения их к удобоваримому виду. Основных тригонометрических тождеств шесть, они связаны с прямыми тригонометрическими функциями: tg ? = sin ?/cos ?; sin^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ?.Эти тождества легко подтвердить из свойств соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике:sin ? = BC/AC = b/c; cos ? = AB/AC = a/c; tg ? = b/a.Первое тождество tg ? = sin ?/cos ? следует из соотношения сторон в треугольнике и исключением стороны c (гипотенузы) при делении sin на cos. Таким же образом определяется тождество ctg ? = cos ?/sin ?, от того что ctg ? = 1/tg ?.По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2. Поделим это равенство на c^2, получим второе тождество:a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Третье и четвертое тождества получает путем деления, соответственно, на b^2 и a^2:a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? либо 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?.Пятое и шестое основные тождества доказываются через определение суммы острых углов прямоугольного треугольника, которая равна 90° либо?/2.Больше трудные тригонометрические тождества : формулы сложения доводов, двойного и тройного угла, понижения степени, реформирования суммы либо произведения функций, а также формулы тригонометрической подстановки, а именно выражения основных тригонометрических функций через tg половинного угла:sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tg^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Надобность обнаружить минимальное значение математической функции представляет собой фактический интерес в решении прикладных задач, скажем, в экономике. Огромное значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.

Инструкция

1. Дабы обнаружить минимальное значение функции , необходимо определить, при каком значении довода x0 будет выполняться неравенство y(x0) ? y(x), где x ? x0. Как водится, эта задача решается на определенном промежутке либо во каждой области значений функции , если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение неподвижных точек.

2. Стационарной точкой именуется значение довода, при котором производная функции обращается в нуль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.

3. Минимальное значение функция зачастую принимает именно в этой точке, впрочем ее дозволено определить не неизменно. Больше того, не неизменно дозволено с точностью сказать, чему равен минимум функции либо он принимает беспредельно малое значение . Тогда, как водится, находят предел, к которому она тяготится при убывании.

4. Для того дабы определить минимальное значение функции , надобно исполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции , приобретение неподвижных точек, обзор значений функции в этих точках и на концах промежутка, обнаружение минимума.

5. Выходит, пускай задана некоторая функция y(x) на промежутке с границами в точках А и В. Обнаружьте область ее определения и узнаете, является ли промежуток ее подмножеством.

6. Вычислите производную функции . Приравняйте полученное выражение нулю и обнаружьте корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в промежуток. Если нет, то на дальнейшем этапе они не учитываются.

7. Разглядите промежуток на предмет типа границ: открытые, закрытые, составные либо безмерные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение . Скажем, отрезок [А, В] является закрытым промежутком. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите наименьший итог.

8. С открытыми и безмерными промежутками дело обстоит несколько труднее. Тут придется искать односторонние пределы, которые не неизменно дают однозначный итог. Скажем, для промежутка с одной закрытой и одной выколотой рубежом [А, В) следует обнаружить функцию при х = А и односторонний предел lim y при х? В-0.