Электронные вычислительные машины выполняют арифметические и логические операции, при этом используется два класса переменных: числа и логические переменные.

Числа несут информацию о количественных характеристиках системы; над ними производятся арифметические действия.

Логические переменные определяют состояние системы или принадлежность её к определённому классу состояний (коммутация каналов, управление работой ЭВМ по программе и т. п.).

Логические переменные могут принимать только два значения: истина и ложь. В устройствах цифровой обработки информации этим двум значениям переменных ставится в соответствие два уровня напряжения: высокий -- (логическая «1» ) и низкий -- (логический 0»). Однако в эти значения не вкладывается смысл количества.

Элементы, осуществляющие простейшие операции над такими двоичными сигналами, называют логическими. На основе логических элементов разрабатываются устройства, выполняющие и арифметические, и логические операции.

В настоящее время логические элементы (ЛЭ) выполняются с помощью различных технологий, которые определяют численные значения основных параметров ЛЭ и, как следствие, качественные показатели цифровых устройств обработки информации, разработанных на их основе. Поэтому в данном пособии схемотехнике и параметрам ЛЭ различных технологий уделено должное внимание.

1 Арифметические и логические основы эвм

1.1 Арифметические основы эвм

В настоящее время в обыденной жизни для кодирования числовой информации используется десятичная система счисления с основанием 10, в которой используется 10 элементов обозначения: числа 0,1,2,…8,9. В первом (младшем) разряде указывается число единиц, во втором – десятков, в третьем – сотен и т. д.; иными словами, в каждом следующем разряде вес разрядного коэффициента увеличивается в 10 раз.

В цифровых устройствах обработки информации используется двоичная система счисления с основанием 2, в которой используется два элемента обозначения: 0 и 1. Веса разрядов слева направо от младших разрядов к старшим увеличиваются в 2 раза, то есть имеют такую последовательность: 8421. В общем виде эта последовательность имеет вид:

и используется для перевода двоичного числа в десятичное. Например, двоичное число 101011 эквивалентно десятичному числу 43:

В цифровых устройствах используются специальные термины для обозначения различных по объёму единиц информации: бит, байт, килобайт, мегабайт и т. д.

Бит или двоичный разряд определяет значение одного какого-либо знака в двоичном числе. Например, двоичное число 101 имеет три бита или три разряда. Крайний справа разряд, с наименьшим весом, называется младшим, а крайний слева, с наибольшим весом, – старшим .

Байт определяет 8-разрядную единицу информацию, 1байт=2 3 бит, например, 10110011 или 01010111 и т. д.,
,

Для представления многоразрядных чисел в двоичной системе счисления требуется большое число двоичных разрядов. Запись облегчается, если использовать шестнадцатеричную систему счисления.

Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16=, в которой используется 16 элементов обозначения: числа от 0 до 9 и буквы А,B,C,D,E,F. Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное достаточно двоичное число разделить на четырёх – битовые группы: целую часть справа налево, дробную – слева направо от запятой. Крайние группы могут быть неполными.

Каждая двоичная группа представляется соответствующим шестнадцатеричным символом (таблица 1). Например, двоичное число 0101110000111001 в шестнадцатеричной системе выражается числом 5С39.

Пользователю наиболее удобна десятичная система счисления. Поэтому многие цифровые устройства, работая с двоичными числами, осуществляют приём и выдачу пользователю десятичных чисел. При этом применяется двоично – десятичный код.

Двоично – десятичный код образуется заменой каждой десятичной цифры числа четырёхразрядным двоичным представлением этой цифры в двоичном коде (См. таблицу 1). Например, число 15 представляется как 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). При этом в каждом байте располагаются две десятичные цифры. Заметим, что двоично–десятичный код при таком преобразовании не является двоичным числом, эквивалентным десятичному числу.

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему ко­манд, включающую десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложения и сдвиг. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Правила сложения двоичных цифр двух чисел А и В представлены в табл. 2.2.

Таблица 2.2 Правила сложения двоичных цифр

Здесь показаны правила сложения двоичных цифр а i , b i , одноимен­ных разрядов с учетом возможных переносов из предыдущего разря­да р i -1 .

Подобные таблицы можно было бы построить для любой другой арифметической или логической операции (вычитание, умножение и т.д.), но именно данные этой таблицы положены в основу выполнения любой операции ЭВМ. Под знак чисел отводится специальный знако­вый разряд. Знак «+» кодируется двоичным нулем, а знак «-» - еди­ницей. Действия над прямыми кодами двоичных чисел при выполне­нии операций создают большие трудности, связанные с необходимос­тью учета значений знаковых разрядов:

Во-первых, следует отдельно обрабатывать значащие разряды чи­сел и разряды знака;

Во-вторых, значение разряда знака влияет на алгоритм выполнения операции (сложение может заменяться вычитанием и наоборот). Во всех без исключения ЭВМ все операции выполняются над чис­лами, представленными специальными машинными кодами. Их ис­пользование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды, а также заменять операцию вычитания опе­рацией сложения.

Различают прямой код (П), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) двоичных чисел.

Машинные коды

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единица) перед его старшим чис­ловым разрядом.

Пример 2.5.

Точечной вертикальной линией здесь отмечена условная граница, отделяющая знаковый разряд от значащих.

Обратный код двоичного числа образуется по следующему пра­вилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в зна­ковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инвер­сные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы - нулями.

Пример 2.6.

Свое название обратный код чисел получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Укажем наиболее важ­ные свойства обратного кода чисел:

Сложение положительного числа С с его отрицательным значени­ем в обратном коде дает так называемую машинную единицу МЕок=1¦ 11…111, состоящую из единиц в знаковом и в значащих разрядах числа;

Нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть как положительным числом - 0¦ 00...0, так и отрицательным - 1 ¦ 11...11. Значение отрицательного нуля совпадает с МЕок. Двой­ственное представление нуля явилось причиной того, что в совре­менных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополни­тельным кодом.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет со­бой результат суммирования обратного кода числа с единицей млад­шего разряда (2 0 - для целых чисел, 2 - k - для дробных).

Пример 2.7.

Укажем основные свойства дополнительного кода:

Сложение дополнительных кодов положительного числа С с его от­рицательным значением дает так называемую машинную едини­цу дополнительного кода:

МЕдк=МЕок+2 0 =10¦ 00...00,

т.е. число 10 (два) в знаковых разрядах числа;

Дополнительный код получил такое название потому, что пред­ставление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы МЕдк.

Модифицированные обратные и дополнительные коды двоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак «-» - двумя единичными разрядами.

Пример 2.8.

Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение случаев получения неправильного результата, когда значение результата превышает максимально возможный результат в отведенной разрядной сетке машины. В этом случае перенос из зна­чащего разряда может исказить значение младшего знакового разря­да. Значение знаковых разрядов «01» свидетельствует о положитель­ном переполнении разрядной сетки, а «10» - об отрицательном пере­полнении. В настоящее время практически во всех моделях ЭВМ роль удвоенных разрядов для фиксации переполнения разрядной сетки иг­рают переносы, идущие в знаковый и из знакового разряда.

2.1 Арифметические и логические основы ЭВМ

2.1.1 Представление данных в ЭВМ

Для оценки количества информации и упорядочения процесса ее обработки используются структурные единицы информации.

За единицу информации принимается один бит.

Бит определяет количество информации, посредством которой выделяется одно из двух альтернативных состояний. В одном бите с помощью цифр 0 и 1 может быть представлен один двоичный разряд числа или одна логическая переменная, принимающая соответственно значения "ложь" или "истина".

Последовательность битов, имеющая определенный смысл, называется полем.

Поле длиной 8 бит называется байтом.

Байт, как правило, является минимальной (неделимой) единицей информации, с которой оперирует ЭВМ. Все остальные единицы информации являются его производными (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Структурные единицы информации

Основной структурной единицей информации, обрабатываемой ЭВМ, является машинное слово.

В современных ЭВМ длина машинного слова обычно составляет два байта. Как правило, в одном машинном слове может быть представлено либо одно число, либо одна команда. Для обеспечения требуемой точности вычислений и экономии памяти большинство ЭВМ могут оперировать также с двойным словом.

Последовательность полей, байтов или слов, имеющих одинаковый смысл, образуют массив.

Группа массивов может объединяться в сегмент. Количество информации в больших массивах оценивается с помощью производных единиц, кратных количеству байтов в степени числа два (1кбайт = 1024 байт = 2 10 байт; 1Мбайт = 1 048 576 байт = 2 20 байт).

Вычислительная машина оперирует с двумя видами информации: управляющей информацией и числовыми данными.

Для представления числовых данных в ЭВМ используются естественная и нормальная формы записи чисел.

В вычислительной технике принято отделять целую часть от дробной точкой. Так как в этом случае положение точки между целой и дробной частями четко определено, то такое представление чисел называют представлением с фиксированной точкой (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Представление чисел с фиксированной точкой

Недостатком представления чисел с фиксированной точкой является их малый диапазон. Поэтому, как правило, в такой форме записывают только целые числа. В этом случае отпадает необходимость отводить поле для дробной части числа.

Максимальным по абсолютному значению целым числом, представляемым в естественной форме, будет число, определяемое по формуле (2 m – 1) (рис. 2.3).

Нормальная форма записи числа имеет вид N = m × q p , где m - мантисса числа (m<1); p - порядок; q - основание системы счисления.

Порядок указывает местоположение в числе точки, отделяющей целую часть числа от дробной.

Рис. 2.3. Представление целых чисел

Такая форма представления чисел называется формой с плавающей точкой. В этом случае машинное слово делится на два основных поля. В одном поле записывается мантисса числа, во втором указывается порядок числа с учетом знака порядка (характеристика числа). Один разряд отводится для представления знака числа. Распределение разрядов в четырехбайтовом слове для случая с плавающей точкой приведено на рисунке 2.4.

Диапазон представления чисел с плавающей точкой значительно больше диапазона представления чисел с фиксированной точкой. Однако быстродействие ЭВМ при обработке чисел с плавающей точкой гораздо ниже, чем при обработке чисел с фиксированной точкой. Это объясняется тем, что при работе с плавающей точкой для каждой операции необходимо время на определение местоположения точки.

Рис. 2.4. Представление чисел с плавающей точкой

В современных ЭВМ используются обе формы представления чисел.

2.1.1.1 Представление команд в ЭВМ

Программа работы машины, определяющая процесс обработки информации в ЭВМ, состоит из последовательности команд.

Под командой ЭВМ понимается информация, обеспечивающая выработку управляющих сигналов для выполнения машиной определенного действия.

Поле команды состоит из двух частей: операционной и адресной. В операционной части указывается код операции (КОП), определяющий действие (арифметическое или логическое), которое должна выполнить машина. Адресная часть команды содержит адреса операндов (величин), участвующих в операции. Под адре-сом "А" понимается номер (цифровой код) машинного слова (или другого поля памяти ЭВМ), где записана необходимая для выполнения команды информация. Количество указываемых в команде адресов может быть различным. Соответственно числу адресов определяются следующие форматы команд: одноадресные, двухадресные, трехадресные и четырехадресные (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Форматы команд ЭВМ

Трехадресная команда, выполняющая, например, операцию сложения, должна содержать код операции сложения и три адреса. Действия, выполняемые такой командой, определяются примерно следующей последовательностью:

1) взять число, хранящееся по первому адресу;

2) взять число, хранящееся по второму адресу, и сложить его с первым числом;

3) результат сложения записать по третьему адресу.

В случае двухадресной команды третий адрес отсутствует, и результат можно записать либо по второму адресу (с потерей информации, которая была там записана), либо оставить в сумматоре, где производилась операция сложения. Тогда для освобождения сумматора требуется дополнительная команда перезаписи числа по требуемому адресу. При сложении двух чисел, хранящихся по адресам A1 и A2,с записью результата, например, в A1 с использованием двухадресной команды, требуется уже четыре команды:

1) вызов в сумматор числа, хранящегося по адресу A1;

2) вызов числа, хранящегося по адресу A2, и сложение его с первым числом;

3) стереть число по адресу A1;

4) запись результата по адресу A1.

Таким образом, чем меньше адресность команд ЭВМ, тем большее число команд требуется для составления одной и той же программы работы машины.

Увеличивая адресность ЭВМ, приходиться увеличивать длину машинного слова, чтобы отвести в нем необходимые поля для адресной части команд. С увеличением объема памяти ЭВМ увеличивается длина поля, необходимого для одного адреса. В то же время не все команды полностью используют адресные поля. Например, для команды записи числа по заданному адресу требуется только одно адресное поле.

2.1.2 Системы счисления

Способ представления чисел посредством числовых знаков (цифр) называется системой счисления. Правила записи и действий над числами в системах счисления, используемых в цифровой вычислительной технике, определяют арифметические основы цифровых ЭВМ.

Компоненты системы счисления:

1. Основание системы счисления - количество различных цифр (символов), используемых для представления числа.

2. Алфавит системы счисления - символы и цифры, используемые для написания всех разрядов числа.

3. Правила записи и чтения чисел.

Различают два основных вида систем счисления: непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что значение числа, выражаемое совокупностью цифр, определяется только конфигурацией цифровых символов и не зависит от места их положения. Классическим примером непозиционной системы является римская система счисления. Например: ХIX; XXIII.

Позиционные системы счисления.

Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, в которых значение любой цифры определяется не только конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе.

Среди позиционных систем различают однородные и смешанные (неоднородные) системы счисления.

В однородных системах количество допустимых цифр для всех позиций (разрядов) числа одинаково. Однородной позиционной системой является общепринятая десятичная система счисления (q = 10), использующая для записи чисел десять цифр от 0 до 9.

Примером смешанной системы счисления может служить система отсчета времени, где в разрядах секунд и минут используется по 60 градаций, а в разрядах часов - 24 градации и т. д.

Любое число A, записанное в однородной позиционной системе, может быть представлено в виде суммы степенного ряда:

(2.1.)

где q - основание системы счисления; a i - цифры системы счисления с основанием q; i - номер (вес) позиции (разряда) числа.

Может быть реализовано бесконечное множество различных систем счисления. В цифровых вычислительных машинах в основном используются однородные позиционные системы. Кроме десятичной системы счисления в ЭВМ находят широкое применение системы с основанием q, являющиеся степенью числа 2, а именно: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

При совместном использовании различных систем счисления после записи числа может указываться основание системы, например: 347,42 10 ; 1101 2 ; 235 8 и т. д.

арифметика--логическое устройство

арифметика--логическое устройство (АЛУ) - центральная часть процессора, выполняющая арифметические и логические операции.

АЛУ реализует важную часть процесса обработки данных. Она заключается в выполнении набора простых операций. Операции АЛУ подразделяются на три основные категории: арифметические, логические и операции над битами. Арифметической операцией называют процедуру обработки данных, аргументы и результат которой являются числами (сложение, вычитание, умножение, деление,...). Логической операцией именуют процедуру, осуществляющую построение сложного высказывания (операции И, ИЛИ, НЕ,...). Операции над битами обычно подразумевают сдвиги.

АЛУ состоит из регистров, сумматора с соответствующими логическими схемами и элемента управления выполняемым процессом. Устройство работает в соответствии с сообщаемыми ему именами (кодами) операций, которые при пересылке данных нужно выполнить над переменными, помещаемыми в регистры.

Арифметико-логическое устройство функционально можно разделить на две части: а) микропрограммное устройство (устройство управления), задающее последовательность микрокоманд (команд); б) операционное устройство (АЛУ), в котором реализуется заданная последовательность микрокоманд (команд).

Закон переработки информации задает микропрограмма, которая записывается в виде последовательности микрокоманд A1,A2, ..., Аn-1,An. При этом различают два вида микрокоманд: внешние, то есть такие микрокоманды, которые поступают в АЛУ от внешних источников и вызывают в нем те или иные преобразования информации (на рис. 1 микрокоманды A1,A2,..., Аn), и внутренние, которые генерируются в АЛУ и воздействуют на микропрограммное устройство, изменяя естественный порядок следования микрокоманд. Например, АЛУ может генерировать признаки в зависимости от результата вычислений: признак переполнения, признак отрицательного числа, признак равенства 0 всех разрядов числа др. На рис. 1 эти микрокоманды обозначены р1, p2,..., рm.

Результаты вычислений из АЛУ передаются по кодовым шинам записи у1, у2, ...,уs, в ОЗУ. Функции регистров, входящих в АЛУ: Рг1 - сумматор (или сумматоры) - основной регистр АЛУ, в котором образуется результат вычислений; Рг2, РгЗ - регистры слагаемых, сомножителей, делимого или делителя (в зависимости от выполняемой операции); Рг4 - адресный регистр (или адресные регистры), предназначен для запоминания (иногда и формирования) адреса операндов и результата; Ргб - k индексных регистров, содержимое которых используется для формирования адресов; Рг7 - i вспомогательных регистров, которые по желанию программиста могут быть аккумуляторами, индексными регистрами или использоваться для запоминания промежуточных результатов.

Часть операционных регистров является программно-доступной, то есть они могут быть адресованы в команде для выполнения операций с их содержимым. К ним относятся: сумматор, индексные регистры, некоторые вспомогательные регистры.

Остальные регистры программно-недоступные, так как они не могут быть адресованы в программе. Операционные устройства можно классифицировать по виду обрабатываемой информации, по способу обработки информации и логической структуре.

АЛУ может оперировать четырьмя типами информационных объектов: булевскими (1 бит), цифровыми (4 бита), байтными (8 бит) и адресными (16 бит). В АЛУ выполняется 51 различная операция пересылки или преобразования этих данных. Так как используется 11 режимов адресации (7 для данных и 4 для адресов), то путем комбинирования "операция/ режим адресации" базовое число команд 111 расширяется до 255 из 256 возможных при однобайтном коде операции.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями». Поэтому мы, в отличие от поэта В. Маяковского, не склонны недооценивать роль единицы, как, впрочем, и нуля. Особенно если речь идет о двоичной системе счисления.

Под системой счисления (СС) понимается способ представления любого числа с помощью алфавита символов, называемых цифрами.

СС называется позиционной , если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе.

Десятичная СС является позиционной. На рисунке слева значение цифры 9 изменяется в зависимости от ее положения в числе. Первая слева девятка делает вклад в общее значение десятичного числа 900 единиц, вторая - 90, а третья - 9 единиц.

Римская СС является непозиционной . Значение цифры Х в числе ХХI остается неизменным при вариации ее положения в числе.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС. В десятичной СС используется десять цифр: 0, 1, 2, ..., 9; в двоичной СС - две: 0 и 1; в восьмеричной СС - восемь: 0, 1, 2, ..., 7. В СС с основанием Q используются цифры от 0 до Q – 1.

В общем случае в позиционной СС с основанием Q любое число х может быть представлено в виде полинома :

x = a n Q n + a n-1 Q n-1 + … + a 1 Q 1 + a 0 Q 0 + a -1 Q -1 + a -2 Q -2 + …+ a -m Q -m

где в качестве коэффициентов a i могут стоять любые цифры, используемые в данной СС.

Принято представлять числа в виде последовательности входящих в полином соответствующих цифр (коэффициентов):

x = a n a n-1 … a 1 a 0 , a -1 a -2 … a -m

Запятая отделяет целую часть числа от дробной части. В ВТ чаще всего для отделения целой части числа от дробной части используют точку . Позиции цифр, отсчитываемые от точки, называют разрядами . В позиционной СС вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию СС. В десятичной СС цифры 1-го разряда - единицы, 2-го - десятки, 3-го - сотни и т. д.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы и др. Для обозначения используемой СС числа заключают в скобки и индексом указывают основание СС:

(15) 10 ; (1011) 2 ; (735) 8 ; (1EA9F) 16 .

Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:

15 10 ; 1011 2 ; 735 8 ; 1EA9F 16 .

Есть еще один способ обозначения СС: при помощи латинских букв, добавляемых после числа. Например,

15D; 1011B; 735Q; 1EA9FH.

Установлено, что, чем больше основание СС, тем компактнее запись числа. Так двоичное изображение числа требует примерно в 3,3 раза большего количества цифр, чем его десятичное представление. Рассмотрим два числа: 97D = 1100001B. Двоичное представление числа имеет заметно большее количество цифр.

Несмотря на то, что десятичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных (цифровых) элементах, так как реализовать элементы с десятью четко различимыми состояниями сложно. В другой системе счисления могут работать приборы декатрон и трохотрон. Декатрон - газоразрядная счетная лампа - многоэлектродный газоразрядный прибор тлеющего разряда для индикации числа импульсов в десятичной СС.

Указанные устройства не нашли применения для построения средств ВТ. Историческое развитие вычислительной техники сложилось таким образом, что цифровые ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т. п.).

Заметим, что отечественная ЭВМ «Сетунь» (автор - Н.П. Брусенцов) работала с использованием троичной системы счисления.

Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов - команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную и восьмеричную СС (и обратно) осуществляется достаточно просто.

Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании и особенно часто при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной системе счисления. Без знания двоичной СС невозможно понять принципы архивации, криптографии и стеганографии. Без знания двоичной СС и Булевой алгебры невозможно представить, как происходит слияние объектов в векторных графических редакторах, которые используют логические операции ИЛИ, И, И-НЕ.

В табл. 1 приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Таблица 1

Системы счисления
Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатерич.

Рассмотрим правило перехода из восьмеричной СС в двоичную СС.

Еще одно правило перевода чисел:

Пример 1 . Перевести число 305.4Q из восьмеричной СС в двоичную СС.

Решение.

Отмеченные крайние нули следует отбросить.

Рассмотрим еще одно правило:

Пример 3. Перевести число 111001100.001В из двоичной СС в восьмеричную СС.

Решение.

Пример 5. Перевести число 11011.11В из двоичной СС в десятичную СС.